Question

如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證:AF⊥SC.

Answer 1

思路解析:本題所給的已知條件中,垂直關(guān)系較多,不容易確定如何在證明中使用它們,因而用綜合法比較困難.這時,可以從結(jié)論出發(fā),逐步反推,尋求使當前命題成立的充分條件.在立體幾何中,通常可以把證明兩條直線互相垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直的問題.

證明:要證AF⊥SC,只需證SC⊥平面AEF,只需證AE⊥SC(因為EF⊥SC),只需證AE⊥平面SBC,只需證AE⊥BC(因為AE⊥SB),只需證BC⊥平面SAB,只需證BC⊥SA(因為AB⊥BC).

由SA⊥平面ABC可知,上式成立.

所以AF⊥SC.

方法歸納  注意此處空半格在分析法證明中,從結(jié)論出發(fā)的每一個步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件,最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實.因此,從最后一步可以倒推回去,直到結(jié)論,但這個倒推過程可以省略.