Question

已知函數(shù)f(x)=

2x

x+1

(x＞0)
（1）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
（2）設(shè)g（x）=log₂f（x），求g（x）的值域；
（3）對于（2）中函數(shù)g（x），若關(guān)于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，取值、作差、變形定號(hào)、下結(jié)論，即可證得；
（2）確定0＜f（x）＜2，利用函數(shù)的單調(diào)性，可求g（x）的值域；
（3）作出y=|g（x）|大致圖象，設(shè)|g（x）|=t，則|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為t²+mt+2m+3=0有兩個(gè)根，且一個(gè)在（0，1）上，一個(gè)在[1，+∞）上，由此可得結(jié)論．

解答：（1）證明：f(x)=

2x

x+1

=2-

2

x+1

，
設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，…（2分）
則f(x1)-f(x2)=(2-

2

x1+1

)-(2-

2

x2+1

)=-

2

x1+1

+

2

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

…（4分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∴

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，…（6分）
（2）解：f(x)=

2x

x+1

=2-

2

x+1

，
因?yàn)閤＞0，所以x+1＞1，所以0＜

2

x+1

＜2，即0＜f（x）＜2…（8分）
又因?yàn)閤＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，y=log₂t單調(diào)遞增，
所以y=log₂f（x）單調(diào)遞增，所以g（x）值域?yàn)椋?∞，1）…（10分）
（3）解：由（2）可知y=|g（x）|大致圖象如圖所示，
設(shè)|g（x）|=t，則|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為t²+mt+2m+3=0有兩個(gè)根，且一個(gè)在（0，1）上，一個(gè)在[1，+∞）上，
設(shè)h（t）=t²+mt+2m+3…（12分）
①當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí)，h（1）=1²+m+2m+3=0，m=-

4

3

，此時(shí)另一根為

1

3

適合題意； …（13分）
②當(dāng)沒有根為1時(shí)，

h(0)＞0 h(1)＜0

，得

2m+3＞0 12+m+2m+3＜0

，
∴-

3

2

＜m＜-

4

3

∴m的取值范圍為(-

3

2

，-

4

3

]…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查方程根的問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．