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        1. 對定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若存在閉區(qū)間[a,b]⊆D和常數(shù)C,使得對任意的x∈[a,b]都有f(x)=C,且對任意的x∉[a,b]都有f(x)>C恒成立,則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“U型”函數(shù).
          (1)求證函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù);
          (2)設(shè)函數(shù)f(x)是(1)中的“U型”函數(shù),若不等式|t-1|+|t-2|≤f(x)對一切t∈R恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
          (3)若函數(shù)g(x)=mx+
          x2+2x+n
          是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù),求實數(shù)m和n的值.
          (1)當x∈[1,3]時,f(x)=x-1+3-x=2,
          當x∉[1,3]時,f(x)=|x-1|+|x-3|>|x-1+3-x|=2,
          故存在閉區(qū)間[a,b]=[1,3]⊆R和常數(shù)C=2符合條件,
          所以函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù);
          (2)因為不等式|t-1|+|t-2|≤f(x)對一切x∈R恒成立,
          所以|t-1|+|t-2|≤f(x)min
          由(1)可知f(x)min=(|x-1|+|x-3|)min=2,
          所以|t-1|+|t-2|≤2,
          解得:
          1
          2
          ≤t≤
          5
          2
          ;
          (3)由“U型”函數(shù)定義知,存在閉區(qū)間[a,b]⊆[-2,+∞)和常數(shù)c,使得對任意的x∈[a,b],
          都有g(shù)(x)=mx+
          x2+2x+n
          =c,即
          x2+2x+n
          =c-mx,
          所以x2+2x+n=(c-mx)2恒成立,即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2對任意的x∈[a,b]成立,
          所以
          m2=1
          -2cm=2
          c2=n
          ,所以
          m=1
          c=-1
          n=1
          m=-1
          c=1
          n=1

          ①當
          m=1
          c=-1
          n=1
          時,g(x)=x+|x+1|.
          當x∈[-2,-1]時,g(x)=-1,當x∈(-1,+∞)時,g(x)=2x+1>-1恒成立.
          此時,g(x)是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù);
          ②當
          m=-1
          c=1
          n=1
          時,g(x)=-x+|x+1|.
          當x∈[-2,-1]時,g(x)=-2x-1≥1,當x∈(-1,+∞)時,g(x)=1.
          此時,g(x)不是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù).
          綜上分析,m=1,n=1為所求;
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          (Ⅰ)已知f(x)=
          2
          3x-1
          +k
          是奇函數(shù),求常數(shù)k的值.;
          (Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x|x-m|(x∈R)且f(4)=0.
          ①求實數(shù)m的取值.
          ②如圖,作出函數(shù)f(x)的圖象并寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          a
          a2-1
          (ax-a-x),(a>0且a≠1).
          (1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明;
          (2)當函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1)時,求使f(1-m)+f(1-m2)<0成立的實數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在非零實數(shù)t使得對于任意x∈M(M⊆D),有x+t∈D,且f(x+t)≥f(x),則稱f(x)為M上的t高調(diào)函數(shù).如果定義域為[-1,+∞)的函數(shù)f(x)=x2為[-1,+∞)上的m高調(diào)函數(shù),那么實數(shù)m的取值范圍是 ______.如果定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=|x-a2|-a2,且f(x)為R上的4高調(diào)函數(shù),那么實數(shù)a的取值范圍是 ______.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          已知定義在(-1,1)上的偶函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)<f(x)的x的取值范圍是______.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)
          (1)證明f(x)是偶函數(shù);
          (2)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
          (3)求函數(shù)的值域.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          奇函數(shù)y=f(x)定義在[-1,1]上,且是減函數(shù),若f(1-a)+f(1-2a)>0,則實數(shù)a的取值范圍是______.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x∈(0,1)時,f(x)=
          2x
          2x+1

          (1)求函數(shù)f(x)在(-1,1)上的解析式;
          (2)判斷函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性并證明.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          若關(guān)于x的不等式x2-(a-1)x>-4對于x∈R恒成立,則a的取值范圍是______.

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          同步練習冊答案