Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）．f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a1=1，anf′(an)=

a

2 n+1

-3．證明：數(shù)列{

a

2 n

}中任意不同三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列；
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，對任意正整數(shù)n都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（x）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，由已知anf′(an)=

a

2 n+1

-3，得出2（an2-1）=an+12-3，整理構(gòu)造得出數(shù)列{an2+1}是以2為公比，以a12+1=2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，求出an2=2ⁿ-1，假設(shè)數(shù)列{

a

2 n

}中存在不同三項(xiàng)ar2，as2at2構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)r＜s＜t，則2as2=ar2+at2①，考察①是否有解，作出解答．
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，原不等式化為2n (x+

1

x

)n-2^n-1•2（xn+

1

xn

）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．可以利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合倒序相加法，基本不等式進(jìn)行證明，或者用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：證明：（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，f′（a_n）=

2(an2-1)

an

由已知，得出2（an2-1）=an+12-3，
∴an+12+1=2（an2+1），數(shù)列{an2+1}是以2為公比，以a12+1=2為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
∴an2+1=2•2^n-1=2ⁿ，an2=2ⁿ-1，
假設(shè)數(shù)列{

a

2 n

}中存在不同三項(xiàng)ar2，as2at2構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)r＜s＜t，則2as2=ar2+at2，即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，2^s+1=2^r+2^t，2^s-r+1=1+2^t-r
又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1為偶數(shù)，1+2^t-r為奇數(shù)，矛盾．故假設(shè)不成立．因此數(shù)列{

a

2 n

}中任意不同三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列．
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f（x）=x²+2lnx，f′（x）=2x+

2

x

=2（x+

1

x

），即證2n (x+

1

x

)n-2^n-1•2（xn+

1

xn

）≥2ⁿ（2ⁿ-2）
即證(x+

1

x

)n-（xn+

1

xn

）≥2ⁿ-2．
證法一：由二項(xiàng)式定理，即證

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+

C

3 n

xn-6+…

C

n-1 n

x2-n≥2ⁿ-2
設(shè)S_n=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+

C

3 n

xn-6+…

C

n-1 n

x2-n，
又S_n=

C

n-1 n

x2-n+

C

n-2 n

x4-n+…+

C

2 n

xn-4+

C

1 n

xn-2．
兩式相加，得出2S_n=

C

1 n

(xn-2+ x2-n)+

C

2 n

(xn-4+ x4-n)+…+

C

n-1 n

(x2-n+ xn-2)
≥2（

C

1 n

+ 

C

2 n

+…

C

n-1 n

）=2（2ⁿ-2）．
∴S_n^≥2ⁿ-2．
證法二：數(shù)學(xué)歸納法
當(dāng)n=1時(shí)，左邊=0，右邊=0，不等式成立．
設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立．即(x+

1

x

)k-（xk+

1

xk

）≥2^k-2成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，(x+

1

x

)k+1-（xk+1+

1

xk+1

）=(x+

1

x

)k•(x+

1

x

) -（xk+1+

1

xk+1

）
≥[（2^k-2）+（xk+

1

xk

）]•(x+

1

x

) -（xk+1+

1

xk+1

）
=（2^k-2）•(x+

1

x

) +xk+1+

1

xk+1

+x^k-1+

1

xk-1

-（xk+1+

1

xk+1

）
=（2^k-2）•(x+

1

x

) +x^k-1+

1

xk-1

≥（2^k-2）•2+2
=2^k+1-2
即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．
綜上所述，對任意正整數(shù)n不等式成立．

點(diǎn)評：本題是函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合．考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，不定方程解的討論，不等式的證明方法．用到了構(gòu)造轉(zhuǎn)化、基本不等式、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)方法．運(yùn)算量較大，是容易出錯(cuò)的地方．