Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

1-an2

．
（1）求b₁，b₂，b₃的值；
（2）求證：數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，若4aS_n＜b_n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a1=

1

4

和a_n+b_n=1，先求得b₁的值，再根據(jù)bn+1=

bn

1-an2

，得到b_n+1與b_n的遞推關(guān)系，進(jìn)而求得b₂，b₃的值，從而求得答案；
（2）根據(jù)（1）中b_n+1與b_n的遞推關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列

1

bn-1

，利用等差數(shù)列的定義，證明

1

bn+1-1

-

1

bn-1

是一個(gè)常數(shù)，即可證得數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出

1

bn-1

的表達(dá)式，即可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)a_n+b_n=1和（2）中的結(jié)論，求出a_n的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求出S_n，將4aS_n＜b_n恒成立，轉(zhuǎn)化為4aS_n-b_n＜0恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（n）=（a-1）n²+3（a-2）n-8，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a_n+b_n=1，且bn+1=

bn

1-an2

，
∴bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

=

bn

bn(2-bn)

=

1

2-bn

，
∵a1=

1

4

，且a₁+b₁=1，
∴b₁=

3

4

，
再根據(jù)bn+1=

1

2-bn

，
∴b2=

4

5

，b3=

5

6

，
∴b₁=

3

4

，b2=

4

5

，b3=

5

6

；
（2）由（1）可得，bn+1=

bn

1-an2

，
∴bn+1-1=

1

2-bn

-1=

bn-1

2-bn

，
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，
∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=-1，
∵b₁=

3

4

，
∴

1

b1-1

=-4，
∴數(shù)列{

1

bn-1

}是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

bn-1

=-4-(n-1)=-n-3，
∴bn=1-

1

n+3

=

n+2

n+3

，
∴bn=

n+2

n+3

；
（3）∵a_n+b_n=1，
∴an=1-bn=

1

n+3

，
∴a_na_n+1=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

，
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=

1

4×5

+

1

5×6

+…

1

(n+3)(n+4)

=（

1

4

-

1

5

）+（

1

5

-

1

6

）+…+（

1

n+3

-

1

n+4

）
=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

，
∴4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

，
∵4aS_n＜b_n恒成立，
∴（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，
設(shè)f（n）=（a-1）n²+3（a-2）n-8，
①當(dāng)a=1時(shí)，f（n）=-3n-8＜0恒成立，
∴a=1符合題意；
②當(dāng)a＞1時(shí)，f（n）的圖象開(kāi)口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0不可能恒成立，
∴a＞1不符合題意；
③當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為-

3

2

•

a-2

a-1

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0，
∴f（n）在[1，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴只要f（1）＜0即可，
∵f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，
∴a＜

15

4

，又a＜1，
∴a＜1．
綜合①②③可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，以及構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)公式．求數(shù)列通項(xiàng)公式常見(jiàn)的方法有：利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用S_n與a_n的關(guān)系，迭加法，迭乘法，構(gòu)造新數(shù)列，能根據(jù)具體的條件判斷該選用什么方法求解．同時(shí)考查了數(shù)列求和，數(shù)列求和運(yùn)用了裂項(xiàng)法求解．屬于難題．