Question

（2012•荊州模擬）如上圖，函數(shù)y=2sin(πx+?)(0≤?≤

π

2

)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1）．設(shè)點(diǎn)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，則

PM

與

PN

的夾角的余弦值為

15

17

．

Answer 1

分析：把點(diǎn)（0，1）代入函數(shù)y=2sin(πx+?)(0≤?≤

π

2

)可得∅=

π

6

．根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合圖象求得M（-

1

6

，0）、N（

5

6

，0），P（

1

3

，2），求出

PM

和

PN

的坐標(biāo)，代入

PM

與

PN

的夾角的余弦值為

PM • PN

| PM |•  | PN |

，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：把點(diǎn)（0，1）代入函數(shù)y=2sin(πx+?)(0≤?≤

π

2

)可得 sin∅=

1

2

，∴∅=

π

6

．
故函數(shù)解析式為y=2sin(πx+

π

6

)．
結(jié)合圖象求得M（-

1

6

，0）、N（

5

6

，0），P（

1

3

，2），

PM

=（-

1

2

，-2），

PN

=（

1

2

，-2）．
則

PM

與

PN

的夾角的余弦值為

PM • PN

| PM |•  | PN |

=

- 1 4 +4

17 2 • 17 2

=

15

17

，
故答案為

15

17

．

點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求函數(shù)的解析式，兩個向量的夾角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．