Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為P（0，1），過(guò)C的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1．若有一菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C上，該菱形對(duì)角線BD所在直線的斜率為-1．
（1）求橢圓∑的方程；
（2）當(dāng)直線BD過(guò)點(diǎn)（1，0）時(shí)，求直線AC的方程；
（3）當(dāng)∠ABC=

π

3

時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）依題意，b=1，解

c2

a2

+

y2

b2

=1，得|y|=

b2

a

，所以

2b2

a

=1，由此能求出橢圓E的方程．
（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，設(shè)AC：y=x+b，由方程組

y=x+b x2 4 +y2=1

得

5x2

4

+2bx+(b2-1)=0，再由根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)能推導(dǎo)出AC的方程．
（3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC=

π

3

，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積S=

3

2

×AC2，由AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=

32

5

-

32

25

×b2，能推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值．

解答：解：（1）依題意，b=1，
解

c2

a2

+

y2

b2

=1，得|y|=

b2

a

，
所以

2b2

a

=1，a=2，
橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，
設(shè)AC：y=x+b，
由方程組

y=x+b x2 4 +y2=1

得

5x2

4

+2bx+(b2-1)=0，
當(dāng)△=(2b)2-4×

5

4

×(b2-1) =5-b2＞0時(shí)，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）的中點(diǎn)坐標(biāo)為

x1+x2

2

=-

4

5

b，

y1+y2

2

=

b

5

，
ABCD是菱形，所以AC的中點(diǎn)在BD上，所以

b

5

=

4b

5

+1
解得b=-

5

3

，滿足△=5-b²＞0，所以AC的方程為y=x-

5

3

．
（3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC=

π

3

，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積S=

3

2

×AC2，
由（2）可得AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₂）²=2，
AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=2×(-

8b

5

)2-8×

4

5

×(b2-1)=

32

5

-

32

25

×b2，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|b|＜

5

，所以當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值，最大值為

3

2

×

32

5

=

16 3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要靈活運(yùn)用根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的性質(zhì)注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．