Question

已知，直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切于點（1，0）．
（1）求直線l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的導函數(shù)），求函數(shù)h（x）的極大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定直線l的方程為y=x-1，利用直線l與g（x）的圖象相切，且切于點（1，0），建立方程，即可求得g（x）的解析式；
（2）確定函數(shù)h（x）的解析式，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性，即可求函數(shù)h（x）的極大值．
解答：解：（1）直線l是函數(shù)f（x）=lnx在點（1，0）處的切線，故其斜率k=f′（1）=1，
∴直線l的方程為y=x-1．…（2分）
又因為直線l與g（x）的圖象相切，且切于點（1，0），
∴在點（1，0）的導函數(shù)值為1．
∴，∴，…（4分）
∴…（6分）
（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）…（7分）
∴…（9分）
令h′（x）=0，得或x=-1（舍）…（10分）
當時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當時，h′（x）＜0，h（x）遞減…（12分）
因此，當時，h（x）取得極大值，
∴[h（x）]_極大=…（14分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查切線方程，考查函數(shù)的單調性與極值，考查學生的計算能力，正確求導是關鍵．