Question

（1）已知平面上兩定點(diǎn)A（-2，0）．B（2，0），且動(dòng)點(diǎn)M標(biāo)滿足=0，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若把（1）的M的軌跡圖象向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位，恰與直線x+ky-3=0 相切，試求實(shí)數(shù)k的值；
（3）如圖，l是經(jīng)過橢圓長軸頂點(diǎn)A且與長軸垂直的直線，E．F是兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P∈l，P不與A重合．若∠EPF=α，求α的取值范圍．
并將此題類比到雙曲線：，l是經(jīng)過焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P∈l，P不與F重合，請作出其圖象．若∠APB=α，寫出角α的取值范圍．（不需要解題過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)M為（x，y）代入題目中的條件=0可得x²+y²=4即得到點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）由題意得得到新的圓的方程（x-1）²+（y+1）²=4，由其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或．
（3）（ⅰ）由題得α=∠EPA-∠FPA，所以tanα=tan（∠EPA-∠FPA），可得0＜tanα≤即0＜α≤arctan
（ⅱ）類比橢圓的證明方法得到雙曲線的類似的性質(zhì)．
解答：解：（1）設(shè)，此即點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）將x²+y²=4向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后，
得到圓（x-1）²+（y+1）²=4
依題意有，得k=0或．
（3）（ⅰ）證明：不妨設(shè)點(diǎn)P在A的右側(cè)，并設(shè)P（t，-5）（t＞0），
則
所以
所以0＜tanα≤．顯然α為銳角，即：0＜α≤arctan
（ⅱ）如圖．（圖形中沒有體現(xiàn)出雙曲線的漸近性的，扣1分）．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是把向量條件坐標(biāo)化，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系以及橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)．