Question

已知雙曲線S的中心是原點(diǎn)O，離心率為，拋物線y²=2x的焦點(diǎn)是雙曲線S的一個(gè)焦點(diǎn)，直線l：y=kx+1與雙曲線S交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（I）求雙曲線S的方程；
（II）當(dāng)以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出雙曲線S的方程，c為它的半焦距，根據(jù)已知得 又b²=c²-a²=1，可以求出a，b，c的數(shù)值．
（II）由題意得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0，當(dāng)△＞0且4-k⁴≠0時(shí)，l與雙曲線S有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B．解得 ．設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，得出 所以x₁x₂+y₁y₂=0．由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0解得k=．
解答：解：（I）由題意設(shè)雙曲線S的方程為 且c為它的半焦距，
根據(jù)已知得
∴
∵b²=c²-a²=1，∴b=1
所以雙曲線S的方程為4x²-y²=1．
（II）由題意得 消去y得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0
當(dāng)△＞0且4-k⁴≠0即4k²+8（4-k²）＞0且k≠±2時(shí)，
l與雙曲線S有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B
∴
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，∴OA⊥OB，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵，，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴
化簡(jiǎn)得k²=2
所以k=
經(jīng)檢驗(yàn)k=符合條件．
所以當(dāng)以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為 ．
點(diǎn)評(píng)：解決這種求雙曲線的方程問題關(guān)鍵是熟悉雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系，解決求直線方程問題關(guān)鍵是把垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直再結(jié)合者根與系數(shù)的關(guān)系列方程解方程即可，此知識(shí)點(diǎn)是高考考查的重點(diǎn)．