Question

已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且．
（1）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時，求的長及的面積；
（2）當(dāng)，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

Answer 1

（1），；（2）。

解析試題分析：（1）由于直線過原點(diǎn)，故直線方程是已知的，可直接求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出線段的長，及邊上的高和面積；（2）設(shè)直線方程為，把方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得出關(guān)于的二次方程，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是這個方程的兩解，故必須滿足，而線段的長，線段的長等于平行線與間的距離，再利用勾股定理求出，這時一定是的函數(shù)，利用函數(shù)知識就可以求得結(jié)論。
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/38/a/1izsa2.png" style="vertical-align:middle;" />，且過點(diǎn)，所以所在直線方程為。
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
由　得。
∴。
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f7/d/1pe9c4.png" style="vertical-align:middle;" />邊上的高等于原點(diǎn)到直線的距離，
所以。
（2）設(shè)直線的方程為，
由　得。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/60/7/1sjjp4.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，所以。
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
則，
所以。
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9e/b/1zyjq2.png" style="vertical-align:middle;" />的長等于點(diǎn)到直線的距離，即，
所以。
所以當(dāng)時，邊最長（這時），
此時所在直線方程為。
考點(diǎn)：直線和橢圓相交，弦長問題。