Question

已知的導(dǎo)函數(shù)，且，設(shè)，

且．

（Ⅰ）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

減 ， 和增 ；（2）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用 的導(dǎo)函數(shù)找到原函數(shù)即可研究 的單調(diào)性, （Ⅱ）把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式 ,然后通過求導(dǎo)研究函數(shù)的值域, （Ⅲ）難點(diǎn)①轉(zhuǎn)化，②注意運(yùn)用第（Ⅱ）問產(chǎn)生的新結(jié)論.導(dǎo)致③放縮后進(jìn)行數(shù)列求和.

試題解析：（Ⅰ）由 且 得. 定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092700052759286537/SYS201309270006123985154893_DA.files/image015.png"> 

 

令 ,得 或  

當(dāng) 時(shí),由,得 ;由 ,得,或

 在 上單調(diào)遞減,在 和 上單調(diào)遞增.

當(dāng) 時(shí), 由,得 ;由 ,得,

 在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）設(shè) ,令 ,得, ,得,

 在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

 在 處有極大值,即最大值0, 同理可證 , 即 

（Ⅲ）由（2）知，

又

即當(dāng)時(shí)取等號(hào).

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),數(shù)列求和及不等式中的放縮法的運(yùn)用.