Question

已知拋物線y²=4x，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，Q是OP的中點(diǎn)，M是FQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：欲求點(diǎn)M的軌跡方程，設(shè)M（x，y），只須求得坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系式即可．再設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得x，y的關(guān)系式．

解答：解：設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）
∵M(jìn)是FQ的中點(diǎn)，
∴

x= 1+x2 2 y= y2 2

⇒

x2=2x-1 y2=2y

，又Q是OP的中點(diǎn)
∴

x2= x1 2 y2= y1 2

⇒

x1=2x2=4x-2 y1=2y2=4y

，
∵P在拋物線y²=4x上，∴（4y）²=4（4x-2），
所以M點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力．