如圖,四棱錐

中,

底面

,四邊形

中,

,

,

,

.
(Ⅰ)求證:平面

平面

;
(Ⅱ)設(shè)

.
(ⅰ) 若直線

與平面

所成的角為

,求線段

的長;
(ⅱ) 在線段

上是否存在一個點

,使得點

到點

的距離都相等?說明理由.

(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)

,不存在

點.
試題分析:(Ⅰ)先證明線面垂直

平面

,再證明面面垂直平面

⊥平面

;(Ⅱ)先建立直角坐標系,設(shè)平面

的法向量為

,利用兩向量垂直

,

,列表達式,求出法向量,再由直線

與平面

所成的角為

,得出法向量中的參量;先設(shè)存在

點,找出

的坐標,利用距離相等,列出表達式,看方程是否有根來判斷是否存在

點.
試題解析:解法一:
(Ⅰ)證明:因為

平面

,

平面

,
所以

,又

,

,
所以

平面

,又

平面

,
所以平面

⊥平面

. 3分
(Ⅱ)以

為坐標原點,建立空間直角坐標系

(如圖).

在平面

內(nèi),作

交

于點

,則

.
在

中,

,

.
設(shè)

,則

,

.
由

得

,
所以

,

,

,

,

. 5分
(ⅰ)設(shè)平面

的法向量為

.
由

,

,得

取

,得平面

的一個法向量

.
又

,故由直線

與平面

所成的角為

得

,即

.
解得

或

(舍去,因為

),所以

. 7分
(ⅱ)假設(shè)在線段

上存在一個點

,使得點

到點

的距離都相等.
設(shè)

(其中

).
則

,

,

.
由

,得

,
即

;①
由

,得

. ②
由①、②消去

,化簡得

. ③
由于方程③沒有實數(shù)根,所以在線段

上不存在一個點

,使得點

到點

的距離都相等.
從而,在線段

上不存在一個點

,
使得點

到點

的距離都相等. 12分
解法二:
(Ⅰ)同解法一:
(Ⅱ)(ⅰ)以

為坐標原點,建立空間直角坐標系

(如圖).

在平面

內(nèi),作

交

于點

,
則

,
在

中,

,

.
設(shè)

,則

,

.
由

得

.
所以

,

,

,

,

. 5分
設(shè)平面

的法向量為

.
由

,

,得

取

,得平面

的一個法向量

.
又

,故由直線

與平面

所成的角為

得

,即

.
解得

或

(舍去,因為

),所以

. 7分
(ⅱ)假設(shè)在線段

上存在一個點

,使得點

到點

的距離都相等.

由

,得

,
從而

,即

,
所以

.
設(shè)

,則

,

.
在

中,

,這與

矛盾.
所以在線段

上不存在一個點

,使得點

到

的距離都相等.
從而,在線段

上不存在一個點

,使得點

到點

的距離都相等
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
四棱錐

中,底面

為平行四邊形,側(cè)面

底面

.已知

,

,

,

.

(Ⅰ)證明

;
(Ⅱ)求直線

與平面

所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知四邊形

為梯形,

,

,四邊形

為矩形,且平面

平面

,

,點

為

的中點.

(Ⅰ)求證:

平面

;
(Ⅱ)求證:平面

平面

;
(Ⅲ)求三棱錐

的體積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖1,在四棱錐

中,

底面

,面

為正方形,

為側(cè)棱

上一點,

為

上一點.該四棱錐的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.

(Ⅰ)求四面體

的體積;
(Ⅱ)證明:

∥平面

;
(Ⅲ)證明:平面

平面

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱柱

中,

是

上的點且

為

中

邊上的高.
(Ⅰ)求證:

平面

;
(Ⅱ)求證:

;
(Ⅲ)線段

上是否存在點

,使

平面

?說明理由.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,三棱柱

的側(cè)棱與底面

垂直,底面

是等腰直角三角形,

,側(cè)棱

,

分別是

與

的中點,點

在平面

上的射影是

的垂心


(1)求證:

;
(2)求

與平面

所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,

是半圓

的直徑,

是半圓

上除

、

外的一個動點,

平面

,

,

,

,

.

⑴證明:平面

平面

;
⑵試探究當

在什么位置時三棱錐

的體積取得最大值,請說明理由并求出這個最大值.
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