Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）如圖，在體積為1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁=1，P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：CA₁⊥C₁P；
（2）當(dāng)AP為何值時(shí)，二面角C₁-PB₁-A₁的大小為

π

6

？

Answer 1

分析：（1）先以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，進(jìn)而得到

CA1

•

C1P

=0即可得到結(jié)論；
（2）分別求出兩個(gè)半平面的法向量，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系．
又∵V ABC-A 1B 1C 1 =

1

2

AB×AC×AA₁=1，∴AB=2．（2分）
設(shè)AP=m，則P（0，m，0），而C₁（1，0，1），C（1，0，0），A₁（0，0，1），B₁（0，2，1）
∴

CA1

=（-1，0，1），

C1P

=（-1，m，-1），

B1C1

=（-1，2，0）
∴

CA1

•

C1P

=（-1）×（-1）+0×m+1×（-1）=0，
∴CA₁⊥C₁P．（6分）
（2）設(shè)平面C₁PB₁的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），

n • B1C1 =0  n • C1P =0

⇒

-x+2y=0 -x+my-z=0

令y=1，則

n

=（2，1，m-2），（9分）
而平面A₁B₁P的一個(gè)法向量

AC

=（1，0，0），
依題意可知cos

π

6

=

|n• AC |

|n|| AC |

=

3

2

，
∴m=2+

3

3

（舍去）或m=2-

3

3

．
∴當(dāng)AP=2-

3

3

時(shí)，二面角C₁-PB₁-A₁的大小為

π

6

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用空間向量求平面間的夾角以及用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)的垂直、平行關(guān)系．是對(duì)向量知識(shí)在立體幾何中應(yīng)用的綜合考察．