Question

【題目】已知兩定點(diǎn)，，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，記的軌跡是.

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)引直線交曲線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算并結(jié)合，代入化簡(jiǎn)即可求得的軌跡是.

（2）當(dāng)斜率為0時(shí)，直線即為軸，此時(shí)定點(diǎn)一定在軸上.當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程與，，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，進(jìn)而表示出直線.令，化簡(jiǎn)即可求得為定值，即可得所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)，則，，，，

所以，即.

故點(diǎn)到，這兩點(diǎn)的距離之和為4，

，

由橢圓定義得曲線為橢圓且，，

所以曲線.

（2）若直線斜率為0，則直線即為軸，此時(shí)定點(diǎn)一定在軸上.

若直線斜率不為0，則可設(shè)直線，設(shè)，

由得

所以

故直線為，

令，

可得

所以直線恒過(guò).