Question

已知函數(shù)f （x）=e^g（x），g （x）=

kx-1

x+1

（e是自然對(duì)數(shù)的底），
（1）若函數(shù)g （x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，求k的取值范圍．
（2）若對(duì)任意的x＞0，都有f （x）＜x+1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)g′（x），然后將g（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)轉(zhuǎn)化成g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即可求出k的取值范圍；
（2）先由條件得到f（1）＜2?e

k-2

2

＜2?k＜2ln2+1＜3猜測最大整數(shù)k=2，然后證明e

2x-1

x+1

＜x+1對(duì)任意x＞0恒成立，轉(zhuǎn)化成ln（x+1）+

3

x+1

＞2，設(shè)h（x）=ln（x+1）+

3

x+1

，然后利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）在x＞0上的最小值，即可證得整數(shù)k的最大值為2．

解答：解：（1）設(shè)g （x）=

kx-1

x+1

?g′（x）=

k(x+1)-kx+1

(x+1)2

=

k+1

(x+1)2

，
因?yàn)間（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
所以g′（x）＞0，得到k＞-1；所以k的取值范圍為（-1，+∞）
（2）由條件得到f（1）＜2?e

k-2

2

＜2?k＜2ln2+1＜3猜測最大整數(shù)k=2，
現(xiàn)在證明e

2x-1

x+1

＜x+1對(duì)任意x＞0恒成立，e

2x-1

x+1

＜x+1等價(jià)于，
2-

3

x+1

＜（lnx+1）?ln（x+1）+

3

x+1

＞2，
設(shè)h（x）=ln（x+1）+

3

x+1

?h′（x）=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

故x∈（0，2）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
所以對(duì)任意的x＞0都有h（x）≥h（2）=ln3+1＞2，
即e

2x-1

x+1

＜x+1對(duì)任意x＞0恒成立，
所以整數(shù)k的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)k的問題，以及不等式恒成立等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化和劃歸的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．