Question

在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一點(diǎn)M，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若|

MF1

|•|

MF2

|=2b2，則橢圓離心率的取值范圍是（　�。�

• A．(

  3

  2

  ，1)
• B．[

  2

  2

  ，1)
• C．(0，

  2

  2

  ]
• D．(0，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的定義，得|

MF1

|+|

MF2

|=2a，再由基本不等式，得

| MF1 |•| MF2 |

≤

| MF1 |+| MF2 |

2

=a，代入|

MF1

|•|

MF2

|=2b2，得

2b2

≤a，化簡(jiǎn)即得橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：∵點(diǎn)M在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，
∴根據(jù)橢圓的定義，得|

MF1

|+|

MF2

|=2a
由基本不等式，有

| MF1 |•| MF2 |

≤

| MF1 |+| MF2 |

2

=a
∵|

MF1

|•|

MF2

|=2b2
∴

2b2

≤a，可得2b²≤a²，即2（a²-c²）≤a²
所以a²≤2c²，a≤

2

c，離心率e=

c

a

≥

2

2

∵橢圓的離心率e∈（0，1）
∴

2

2

≤e＜1
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上動(dòng)點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離之積為常數(shù)2b²，求橢圓離心率的取值范圍，著重考查了基本不等式和橢圓的基本概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．