Question

【題目】已知橢圓：，動直線l與橢圓E交于不同的兩點，，且△AOB的面積為1，其中O為坐標原點.

（1）證明：為定值；

（2）設線段AB的中點為M，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為.

【解析】

（1）當直線l的斜率不存在時，設l：x＝m，代入橢圓方程求解，結(jié)合△AOB的面積為1求得m值，可得為定值4，當直線l的斜率存在時，設，聯(lián)立橢圓方程，可得A，B橫坐標的和與積，利用弦長公式求弦長，再由點到直線的距離公式求得到直線的距離，結(jié)合△AOB的面積為1，可得，則的值可求，從而說明為定值；

（2）設，當直線的斜率不存在時，，，則|；當直線的斜率存在時，由（1）可得M的坐標，求得，寫出，結(jié)合轉(zhuǎn)化為關于的二次函數(shù)求最值.

（1）當直線l的斜率不存在，設l：x＝m

代入橢圓方程，得，即

由△AOB的面積為1，可得，

解得：，則；

當直線l的斜率存在，設，

聯(lián)立，

化簡整理可得，

設，，

可得，，

，

由△AOB的面積為1，可得，

化簡可得，

則

，

而，

綜上可得，為定值4；

（2）設，

當直線的斜率不存在時，，

，則|；

當直線的斜率存在時，由（1）可得，

，

則，

可得

.

∵，∴.

可知.

綜上，的最大值為.