Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與曲線C交于M，N兩點.

（1）若點P的極坐標(biāo)為（2，π），求|PM||PN|的值；

（2）求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）16

【解析】

（1）利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程.求得的直角坐標(biāo)，由此判斷在直線上，求得直線的標(biāo)準參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，化簡后寫出韋達定理，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義，求得的值.

（2）求得橢圓內(nèi)接矩形周長的表達式，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得周長的最大值.

（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.

點P的極坐標(biāo)為（2，π），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為（﹣2，0）由于點P（﹣2，0）在直線l上，

所以直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為（t為參數(shù)），

所以代入曲線的方程為，

整理得，

所以|PM||PN|＝|t1t2|＝4.

（2）不妨設(shè)Q（），（），

所以該矩形的周長為4（）＝16sin（）.

當(dāng)時，矩形的周長的最大值為16.