Question

A市將于2010年6月舉行中學生田徑運動會，該市某高中將組隊參賽，其中隊員包括10名男子短跑選手，來自高中一、二、三年級的人數分別為2、3、5．
（Ⅰ）從這10名選手中選派2人參加100米比賽，求所選派選手為不同年級的概率；
（Ⅱ）若從這l0名選手中選派4人參加4×100米接力比賽，且所選派的4人中，高一、高二年級的人數之和不超過高三年級的人數，記此時選派的高三年級的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記所求事件為A，由題設條件知P（A）=

C 1 2 C 1 3 + C 1 3 C 1 5 + C 1 2 C 1 5

C 2 10

．由此能求出所選派選手為不同年級的概率．
（Ⅱ）據題意可知ξ可能取值為2.3.4．當ξ=2時，符合要求的事件個數為C₂¹C₃¹C₅²+C₂²C₅²+C₃²C₅²=100；當ξ=3時，符合要求的事件個數為C₂¹C₅³+C₃¹C₅³=50；當ξ=4時，符合要求的事件個數是C₅⁴=5．由此能求出隨機變量ξ的分布列和數學期望．

解答：解：（Ⅰ）記所求事件為A，則P（A）=

C 1 2 C 1 3 + C 1 3 C 1 5 + C 1 2 C 1 5

C 2 10

=

31

45

．
（Ⅱ）據題意可知ξ可能取值為2.3.4．
當ξ=2時，符合要求的事件個數為C₂¹C₃¹C₅²+C₂²C₅²+C₃²C₅²=100，
當ξ=3時，符合要求的事件個數為C₂¹C₅³+C₃¹C₅³=50，
當ξ=4時，符合要求的事件個數是C₅⁴=5．
∴p（ξ=2）=

100

100+50+5

=

20

31

，
p（ξ=3）=

50

155

=

10

31

，
p（ξ=4）=

5

155

=

1

31

．
∴隨機變量ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P	20 31	10 31	1 31

Eξ=2×

20

31

+3×

10

31

+4×

1

31

=

74

31

．

點評：本題考查概率的求法和隨機變量ξ的分布列及數學期望．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，注意合理地進行等價轉化．