Question

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合于B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐(如圖所示)．

（Ⅰ）在三棱錐上標(biāo)注出、點(diǎn)，并判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；
（Ⅱ）是線段上一點(diǎn)，且,問是否存在點(diǎn)使得,若存在，求出的值;若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

Answer 1

（Ⅰ）參考解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）通過翻折可知B點(diǎn)和C點(diǎn)對應(yīng)的位置.所以可以相應(yīng)地找到M,N點(diǎn)的位置.然后說明直線與平面AEF平行.
（Ⅱ）根據(jù)題意證得直線AB平面AEF.所以只需要?jiǎng)狱c(diǎn)G與點(diǎn)B重合即可得到AB平面EGF.所以可得.本小題雖然是動(dòng)點(diǎn)的問題但是通過證明線面垂直后再把動(dòng)點(diǎn)移到特殊的位置即可.
（Ⅲ）由于AB垂直于平面BEF，所以易計(jì)算三棱錐A-BEF的體積.同時(shí)四棱錐E-AFNM的體積與三棱錐E-BMN的體積比等于它們底面積的比.體積比轉(zhuǎn)化為面積比的問題.從而可求出四棱錐E-AFMN的體積.本小題的體積求法有點(diǎn)技巧，要學(xué)會相互轉(zhuǎn)化.
試題解析：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是的一條中位線，如圖所示.

則                            2分
證明如下：． 4分
（Ⅱ）存在點(diǎn)使得，此時(shí)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240312015351235.png" style="vertical-align:middle;" />面EBF
又是線段上一點(diǎn)，且,
∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)              8分
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031201676656.png" style="vertical-align:middle;" />
且，
∴，                   9分
又
           12分