Question

已知，函數(shù)，．
（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處的切線互相垂直，求，的值；
（2）設(shè)，若對(duì)任意的，且，都有，求的取值范圍．

Answer 1

（1），或；（2）.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問(wèn)，由于與在處的切線互相垂直，所以兩條切線相互垂直，即斜率相乘得-1，對(duì)和求導(dǎo)，將1代入得到兩切線的斜率，列出方程得出a的值；第二問(wèn)，先將“對(duì)任意的，且，都有”轉(zhuǎn)化為“對(duì)任意的，且，都有”，令，則原命題等價(jià)于在是增函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，決定函數(shù)的單調(diào)性.
（1），．
，．
依題意有，
可得，解得，或 ．　　　　    ６分
（2）．
不妨設(shè)，
則等價(jià)于，
即．
設(shè)，
則對(duì)任意的，且，都有，
等價(jià)于在是增函數(shù)．
，
可得，
依題意有，對(duì)任意，有．
由，可得．     13分