Question

（2013•江門一模）如圖，橢圓Σ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，橢圓的頂點(diǎn)A、B、C、D圍成的菱形ABCD的面積S=4．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線2

2

x+y=0與橢圓Σ相交于M、N兩點(diǎn)，在橢圓是否存在點(diǎn)P、Q，使四邊形PMQN為菱形？若存在，求PQ的長(zhǎng)；若不存在，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率及a，b，c的關(guān)系、菱形的面積公式即可得出；
（2）利用橢圓的對(duì)稱性、線段的垂直平分線的性質(zhì)、菱形的定義、兩點(diǎn)間的距離公式．

解答：解：（1）依題意e=

c

a

=

3

2

，從而

a2-b2

a

=

3

2

，a=2b．
又S菱形=

1

2

|AC| |BD|=

1

2

×2a×2b=2ab=4，即ab=2，
聯(lián)立

a=2b ab=2

，解得a=2，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）存在．
由直線2

2

x+y=0可得kMN=-2

2

，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)直線PQ是線段MN的垂直平分線時(shí)，PMQN為菱形，∴kPQ=-

1

kMN

=

1

2 2

，
∴PQ所在直線的方程為y=

1

2 2

x．
聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y= 1 2 2 x

解得

x= 2 6 3 y= 3 3

，

x=- 2 6 3 y=- 3 3

．
∴P(

2 6

3

，

3

3

)，Q(-

2 6

3

，-

3

3

)，
∴|PQ|=

( 2 6 3 + 2 6 3 )2+( 3 3 + 3 3 )2

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的對(duì)稱性、離心率及a，b，c的關(guān)系、線段的垂直平分線的性質(zhì)、菱形的定義菱形的面積公式、兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．