Question

18.在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓＝1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.

（1）求圓C的方程.

（2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解： (1)設圓心坐標為(m，n)（m＜0，n＞0）,則該圓的方程為(x-m)²+(y-n)²=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則

=2

即=4       ①

又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得

m²+n²=8           ②

聯(lián)立方程①和②組成方程組解得

故圓的方程為(x+2)²+y²=8

(2)=5，∴a²=25，則橢圓的方程為+=1

其焦距c==4，右焦點為(4，0)，那么=4。

要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于的長度4，我們可以轉化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓(x─4)²+y²=8與(1)所求的圓的交點數。

通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=

即存在異于原點的點Q(，)，使得該點到右焦點F的距離等于的長。