Question

某著名景區(qū)新近開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每賣出一件產(chǎn)品需向地方稅務(wù)部門上交3元的稅收．設(shè)每件紀(jì)念品的售價為x元（30≤x≤40），根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例．已知每件紀(jì)念品的售價為40元時，銷售量為10件．
（1）求該景區(qū)的日利潤L（x）元與每件紀(jì)念品的售價x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件紀(jì)念品的售價為多少元時，該景區(qū)的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)日銷售量與e^x成反比例，確定日售量，再結(jié)合利潤=收入-支出問題可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）設(shè)日銷售量為

k

ex

∵每件紀(jì)念品的售價為40元時，銷售量為10件，
∴

k

e40

=10，∴k=10e⁴⁰，則日售量為

10e40

ex

件
∴日利潤L（x）=（x-30-3）

10e40

ex

=（x-33）

10e40

ex

（30≤x≤40），
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得L′（x）=

10e40

ex

（34-x）
令L′（x）＞0，可得30≤x＜34；令L′（x）＜0，可得34＜x≤40
∴函數(shù)在[30，34）上，函數(shù)單調(diào)增，在（34，40]上，函數(shù)單調(diào)減
∴x=34時，L（x）取極大值，且為最大值，最大值為10e⁶．

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，單峰函數(shù)極值就是最值，屬于中檔題．