Question

已知M（2，1），N（-1，2），在下列方程的曲線(xiàn)上，存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|NP|的曲線(xiàn)是（　�。�

• A、3x-y+1=0
• B、x²+y²-4x+3=0
• C、

  x2

  2

  +y2=1
• D、

  x2

  2

  -y2=1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，要滿(mǎn)足|MP|=|NP|，則P在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)上，即求可以和線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)相交的曲線(xiàn)即可．先求得線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)方程，分別代入四個(gè)選項(xiàng)的方程，根據(jù)判別式判斷與曲線(xiàn)方程是否有交點(diǎn)．

解答：解：連接MN，設(shè)MN的方程為y=kx+b，傾斜角為α
代入M，N的坐標(biāo)，有
2k+b=1
-k+b=2
解得k=-

1

3

，b=

5

3

即tanα=

sinα

cosα

=-

1

3

MN的方程為y=-

x

3

+

5

3

，x∈[-1，2]
設(shè)MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q（a，-

a

3

+

5

3

）
有|QM|²=|QN|²
（a-2）²+（-

a

3

+

5

3

-1）²=[a-（-1）]²+（-

a

3

+

5

3

-2）²
解得a=

1

2

得Q（

1

2

，

3

2

）
與MN垂直的直線(xiàn)斜率為
tan（

π

2

+α）=

sin( π 2 +α)

cos( π 2 +α)

=-

cosα

sinα

=3
設(shè)MN垂直平分線(xiàn)的方程為y=3x+c
代入Q（

1

2

，

3

2

），得
3×

1

2

+c=

3

2

得c=0
MN垂直平分線(xiàn)的方程為y=3x
可知y=3x上的點(diǎn)到M的距離與到N的距離相等，則點(diǎn)P在y=3x上，同時(shí)又在A(yíng)，B，C，D中的一個(gè)曲線(xiàn)上，即兩個(gè)圖象有交點(diǎn)
A.3x-y+1=0
即y=3x+1
3x+1=3x不成立，兩個(gè)圖象無(wú)交點(diǎn)
B．y=3x代入x²+y²-4x+3=0，得
10x²-4x+3=0
判別式△=（-4）²-4×10×3=-104＜0
兩個(gè)圖象無(wú)交點(diǎn)
C．y=3x代入

x2

2

+y2=1，得

x2

2

+(3x)2=1，解得x=±

2 19

19

3*（±2√19/19）═±6√19/19
得P（

2 19

19

，

6 19

19

）或（-

2 19

19

，-

6 19

19

）
D．y=3x代入

x2

2

-y2=1，得

17x2

2

+1═0
判別式△=0²-4×（17/2）×1=-34＜0
兩個(gè)圖象無(wú)交點(diǎn)
只有C選項(xiàng)正確
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法