Question

定義數(shù)列中的前n項(xiàng)的積為數(shù)列的n項(xiàng)階乘，記為，例如：（a_3n+1）!!=a₄•a₇•a₁₀•…•a_3n+1，已知f（x）=x-sinx在[0，n]上的最大值為b_n；設(shè)a_n=b_n+sin n．
（1）求a_n
（2）求證：
（3）是否存在m∈N^*使成立？若存在，求出所有的m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f′（x）=1-cosx≥0，知f（x）在[0，n]上單調(diào)遞增．所以f（n）_max=f（n）=b_n=n-sinn由此能求出a_n．
（2）由和能夠證明．
（3）由=，知對(duì)于任意的m∈N^*均有．
解答：解：（1）∵f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在[0，n]上單調(diào)遞增．
∴f（n）_max=f（n）=b_n=n-sinn，
∴a_n=b_n+sinn=n，
（2）∵
又，
∴，
（數(shù)學(xué)歸納法按（1分）+（3分）+（1分）評(píng)分）
（3）由（2）知：
=

=
=，
∴對(duì)于任意的m∈N^*均有．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．