Question

已知橢圓與雙曲線

4y2

3

-4x2=1有公共的焦點，且橢圓過點P（

3

2

，1）．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l過點M（-1，1）交橢圓于A、B兩點，且

AB

=

2MB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．由題設(shè)知橢圓焦點坐標分別為（0，1）和（0，-1），c=1，再由橢圓過點P(

3

2

，1)，能求出a²=4，b²=3，從而能夠得到橢圓方程．
（2）若直線l的斜率k不存在，即l⊥x軸，由橢圓的對稱性知，則不滿足

AB

=2

MB

．當直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y=-=k（x+1）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則3y₁²+4x₁²=12①3y₂²+4x₂²=12，再由中點坐標公式結(jié)合題設(shè)條件可求出直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．（1分）
∵雙曲線

4y2

3

-4x2=1的焦點坐標分別為（0，1）和（0，-1）
∴橢圓焦點坐標分別為（0，1）和（0，-1）（2分）
∴c=1，即a²-b²=1①（3分）
又橢圓過點P(

3

2

，1)，∴

1

a2

+

9

4b2

=1②（4分）
由①②得a²=4，b²=3，（6分）
∴所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

3

=1．（7分）
（2）若直線l的斜率k不存在，即l⊥x軸，

由橢圓的對稱性知，則不滿足

AB

=2

MB

．（1分）
當直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y=-=k（x+1）．（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則3y₁²+4x₁²=12①3y₂²+4x₂²=12②（3分）
由

AB

=2

MB

知M為AB的中點
∴x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2（4分）
①-②得3（y₁+y₂）（y₁-y₂）+4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

4

3

，（5分）
∴直線l的方程為：y-1=

4

3

(x+1)，即4x-3y+7=0．（7分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合知識，解題時要認真審題，挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意公式的靈活運用．