Question

如圖所示，平面α∥平面β，點A∈α，C∈α，點B∈β，D∈β，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，AB，CD所在直線異面，且AE：EB=CF：FD
（Ⅰ）求證：EF∥β；    
（Ⅱ）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接連接AD，作EG∥BD交AD于點G，連接FG；結合AE：EB=CF：FD可得EG∥β，F(xiàn)G∥α；進而得到平面EFG∥β即可證得結論；
（Ⅱ）結合第一問中的結論和AC，BD所成的角為60°可以得到EG=

1

2

BD=3，F(xiàn)G=

1

2

AC=2以及∠EGF=120°或60°；最后利用余弦定理即可求出結論．

解答：（Ⅰ）證明：連接AD，作EG∥BD交AD于點G，連接FG，
因為AE：EB=CF：FD
∴EG∥BD，F(xiàn)G∥AC，
則EG∥β，F(xiàn)G∥α，
∵α∥β
∴FG∥β；
又因為；EG∩FG=G．
∴平面EFG∥β
而EF?平面EFG；
∴EF∥β
（Ⅱ）解：∵EG∥BD，F(xiàn)G∥AC且E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6；
∴EG=

1

2

BD=3，F(xiàn)G=

1

2

AC=2
∵AC，BD所成的角為60°，
∴∠EGF=120°或60°
∴EF=

EG 2+FG 2-2EG•FGcos∠EGF

=

22+32-2×2×3cos∠120°

=

19

；
或EF=

22+32-2×2×3×cos∠60°

=

7

即EF=

19

或

7

．

點評：本題主要考查空間中線段距離的計算以及線面平行的判定．在求線段長度問題是，一般是放在三角形中，借助于正弦定理或余弦定理求解．