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        1. 已知平面內(nèi)兩點M,N,點M(2+5cosθ,5sinθ),|
          MN
          |=1
          ,過N作圓C:(x-2)2+y2=4的兩條切線NE,NF,切點分別為E,F(xiàn),則
          NE
          NF
          的最小值為
          6
          6
          分析:有點M的坐標(biāo)可知點M在以(2,0)為圓心,半徑為5的大圓上,給出的圓C和點M的軌跡是同心圓,由|
          MN
          |=1
          可知N的軌跡是圓心在M的軌跡上,半徑為1的圓,畫出圖形后,利用對稱性取N的軌跡與x軸的左交點,分析得到N取該點時能使
          NE
          NF
          的值最。
          解答:解:設(shè)M(x,y),由M(2+5cosθ,5sinθ),所以
          x=2+5cosθ
          y=5sinθ
          ,
          整理得:(x-2)2+y2=25.故點M在一個圓心為(2,0),半徑為5的大圓上,這個大圓與圓C:(x-2)2+y2=4是同心圓.
          又點N滿足|
          MN
          |=1
          ,所以點N的軌跡為(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1.
          基于對稱性,我們?nèi)∫粋較為方便的位置進(jìn)行研究.如圖,
          取θ=0,此時圓N的圓心為(7,0),于是N點在(x-7)2+y2=1的小圓上,這個小圓與x軸有兩個交點,左邊的交點N1(6,0);右邊的交點N2(8,0).因為N1離圓C最近,因此切線最短,兩條切線的夾角α最大,且α是銳角,cosα是減函數(shù),因此由N1作出的兩條切線向量的模最小,cosα的值最小,故數(shù)量積
          N1E
          N1F
          必是最。
          在RT△CEN1中,CN1=4,CE=2,故|
          N1E
          |=|
          N1F
          |=
          42-22
          =2
          3
          ,cos
          α
          2
          =
          2
          3
          4
          =
          3
          2
          ,
          cosα=2cos2
          α
          2
          -1=2×(
          3
          2
          )2-1=
          1
          2

          NE
          NF
          的最小值為|
          N1E
          ||
          N1F
          |cosα=2
          3
          ×2
          3
          ×
          1
          2
          =6

          故答案為6.
          點評:本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,考查了圓的參數(shù)方程,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想,解答此題的關(guān)鍵是讀懂題目意思,屬中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知在坐標(biāo)平面內(nèi),M、N是x軸上關(guān)于原點O對稱的兩點,P是上半平面內(nèi)一點,△PMN的面積為
          3
          2
          ,點A坐標(biāo)為(1+
          3
          ,
          3
          2
          ),
          MP
          =m•
          OA
          (m為常數(shù))
          MN
          OP
          =|
          MN
          |

          (Ⅰ)求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程;
          (Ⅱ)過點B(-1,0)的直線l交橢圓于C、D兩點,交直線x=-4于點E,點B、E分
          CD
          的比分別為λ1
          、λ2,求證:λ12=0.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

          已知平面內(nèi)兩點M,N,點M(2+5cosθ,5sinθ),數(shù)學(xué)公式,過N作圓C:(x-2)2+y2=4的兩條切線NE,NF,切點分別為E,F(xiàn),則數(shù)學(xué)公式的最小值為________.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇州市張家港外國語學(xué)校高二(上)周日數(shù)學(xué)試卷10(理科)(解析版) 題型:填空題

          已知平面內(nèi)兩點M,N,點M(2+5cosθ,5sinθ),,過N作圓C:(x-2)2+y2=4的兩條切線NE,NF,切點分別為E,F(xiàn),則的最小值為   

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年山東省濰坊市四校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          如圖,已知在坐標(biāo)平面內(nèi),M、N是x軸上關(guān)于原點O對稱的兩點,P是上半平面內(nèi)一點,△PMN的面積為
          (Ⅰ)求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程;
          (Ⅱ)過點B(-1,0)的直線l交橢圓于C、D兩點,交直線x=-4于點E,點B、E分、λ2,求證:λ12=0.

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          同步練習(xí)冊答案