Question

【題目】已知曲線f（x）= （x＞0）上有一點(diǎn)列Pn（xn ， yn）（n∈N*），過(guò)點(diǎn)Pn在x軸上的射影是Qn（xn ， 0），且x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2．（n∈N*）
（1）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)四邊形PnQnQn+1Pn+1的面積是Sn ， 求Sn；
（3）在（2）條件下，求證： + +…+ ＜4．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=1時(shí)，x1=22﹣1﹣2=1，

n≥2時(shí)，x1+x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣（n﹣1）﹣2，①

又x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2，②

②﹣①得：xn=2n﹣1（n=1仍成立）

故xn=2n﹣1；

（2）解：∵ ，

∴ ，又 ， ，

故四邊形PnQnQn+1Pn+1的面積為： ；

（3）解：證明： ，

∴ ．

【解析】（1）求出n=1時(shí)，x1=1；n≥2時(shí)，將n換為n﹣1，兩式相減，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用點(diǎn)滿足函數(shù)式，代入化簡(jiǎn)，求出梯形的底和高，由梯形的面積公式，化簡(jiǎn)可得；（3）求得： ，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得證．