Question

【題目】如圖，為橢圓的左右焦點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，若點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)的一個(gè)“橢點(diǎn)”.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為，已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試探討的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為定值1.

【解析】

試題分析：（1）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般要找到兩個(gè)關(guān)于的等式，由橢圓的幾何性質(zhì)，題中兩個(gè)線段長(zhǎng)正好提供了兩個(gè)等式，一個(gè)，即為，，即為，再由，可得值；（2）本小題是定值問(wèn)題的研究，首先設(shè)，，寫出“橢圓點(diǎn)”坐標(biāo)，.由已知可得它們的關(guān)系：.接著考慮直線，分類討論斜率不存在，以及斜率存在兩種情形，對(duì)斜率不存在的特殊情形可直接求出點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)斜率存在時(shí)，可設(shè)方程為，代入橢圓方程后可得，從而得，代入得的關(guān)系式，此時(shí)可驗(yàn)證下判別式，由直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線距離公式可求得上的高，從而求得．

試題解析：（1）由題可得解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，則，.由，即.（*）

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其直線為，聯(lián)立得

，則，，同理，代入（*），整理得，此時(shí)，，∴.

綜上，的面積為定值1.