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          已知雙曲線，點在曲線上，曲線的離心率為，點、為曲線上易于點A的任意兩點,為坐標原點。
          


          （1）求曲線上方程；
          


          （2）若為曲線的焦點，求最大值；
          


          （3）若以為直徑的圓過點，求證：直線過定點，并求出定點坐標。
          


           
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          （1）方程為
          


          （2）由雙曲線的對稱性知，不妨設P在左支上，設，由焦半徑得：
          


            ，所以
          


          所以，當時取等號。
          


          的最大值是。
          


          （3）設，聯(lián)立直線PQ和雙曲線方程得：
          


          ，所以得。
          


          且，由題知，
          


          所以，
          


          ，
          


          代入的，
          


          解得或（舍去），所以PQ方程為，
          


          即得PQ過定點
          


          （說明：另解一，可以利用對稱和當PQ垂直情況猜過軸上點，然后證明；
          


          另解二，設AP斜率，求出P，Q坐標，然后利用兩點式寫出方程判斷過定點，）
          


           
          


           
          


           
          


          【解析】略
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•上海）如圖，已知雙曲線C1：
          x2
          2
          -y2=1          ，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點”
          （1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
          （2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1-C2型點”；
          （3）求證：圓x2+y2=
          1
          2
          內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2013年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（上海卷解析版）
				題型：填空題
			
          

						
          如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1﹣C2型點“
          


          


          （1）在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
          


          （2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1﹣C2型點”；
          


          （3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1﹣C2型點”
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2013年上海市高考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點“
          （1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
          （2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1-C2型點”；
          （3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2013年上海市高考數(shù)學試卷（文科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點“
          （1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
          （2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1-C2型點”；
          （3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”

          

			
          

			
          
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