Question

【題目】已知方程表示一個圓．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）求該圓半徑的取值范圍；

（3）求該圓心的縱坐標(biāo)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）利用方程表示圓的條件，建立不等式，即可求出實數(shù)的取值范圍； （2）利用圓的半徑，利用配方法結(jié)合（1）中實數(shù)的取值范圍，即可求出該圓半徑的取值范圍；（3）根據(jù)，確定圓的圓心坐標(biāo)，再消去參數(shù)，根據(jù)（1）中實數(shù)的取值范圍，可求得圓心的縱坐標(biāo)的最小值.

試題解析：（1）方程表示圓的等價條件是，即有，

解得．

（2）半徑，解得．

（3）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則消去，得，

由于，所以，

故圓心的縱坐標(biāo)， ，所以最小值是．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的方程與性質(zhì)以及解析幾何求最值問題，屬于難題. 解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（3）就是用的這種思路，利用均值配方法求圓心的縱坐標(biāo)的最小值.