Question

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對于任意的x∈R，f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，當x∈[0，1]時，f（x）=2x，若方程f（x）=ax恰好有5個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．

  2

  3

  ＜a＜

  2

  7

• B．

  2

  5

  ＜a＜

  2

  7

   或a=-

  2

  5

• C．

  2

  3

  ＜a＜

  2

  7

  或a=-

  2

  5

• D．-

  2

  3

  ＜a＜-

  2

  7

   或 a=

  2

  5

Answer 1

分析：根據(jù)題意先求出函數(shù)的周期，要使關于x的方程f（x）=ax有5個不同的解，即使y=f（x）與y=ax有5個交點都是奇函數(shù)其中有一個交點肯定是原點，只需考慮（0，+∞）有兩個交點即可，畫出圖象即可求出a的值．

解答：解：因為f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，且f（x）是奇函數(shù)
所以f（x）是周期為4的周期函數(shù)（且該函數(shù)最大值與最小值分別為2和-2）
要使關于x的方程f（x）=ax有5個不同的解，即使y=f（x）與y=ax有5個交點
都是奇函數(shù)其中有一個交點肯定是原點，只需考慮（0，+∞）有兩個交點即可
畫出函數(shù)圖象如下：
當a=

2

5

（ 即 f（x）=ax過點（5，2））時，恰好5個交點，
當a＜0時，a的范圍在（k₁，k₂）之間，k₁=-

2

3

，k₂=-

2

7

，即-

2

3

＜a＜-

2

7

故選D．

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，同時考查了數(shù)形結合和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．