Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）證明：；

（2）設(shè)，在上的極值點(diǎn)從小到大排列為，求證：時(shí)，．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值；

（2），的極值點(diǎn)就是的零點(diǎn)，

計(jì)算出，，在區(qū)間上，，無(wú)零點(diǎn)，，在區(qū)間上，由得是減函數(shù)，雙由，，知有一個(gè)零點(diǎn)，由此可得在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，也即在只有兩個(gè)零點(diǎn)，小的記為，在的記為，且，由零點(diǎn)得證得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及、的范圍可證得題設(shè)不等式成立．

（1）時(shí)，，

故在上是減函數(shù)，

所以；

（2），

故，

令，，，

在區(qū)間上，，

故在上僅有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，

在上，為增函數(shù)，

，

故在上僅有1個(gè)零點(diǎn)，

故在上僅有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為；

在上，為減函數(shù)，

，

故在上僅有1個(gè)零點(diǎn)，

故在上僅有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，

又在區(qū)間上，無(wú)零點(diǎn)，

故在一個(gè)區(qū)間上，有兩個(gè)零點(diǎn)，

且，

，，

而，

又與，

可得：

∴．