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        1. 已知圓(x+2)2+y2=
          25
          4
          的圓心為M,圓(x-2)2+y2=
          1
          4
          的圓心為N,一動圓與這兩圓都外切.
          (1)求動圓圓心P的軌跡方程;
          (2)若過點N的直線l與(1)中所求軌跡有兩交點A、B,求
          AM
          BM
          的取值范圍.
          分析:(1)利用兩個圓相外切的充要條件列出兩個幾何條件,令兩個式子相減;再利用雙曲線的定義判斷出動圓圓心P的軌跡是雙曲線,寫出雙曲線的方程.
          (2)分直線的斜率存在于不存在,設(shè)出直線的方程,將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,利用韋達定理列出關(guān)于k的不等式,求出k的范圍,利用向量的數(shù)量積公式將
          AM
          BM
          用k表示,求出k的范圍.
          解答:解:(1)設(shè)動圓P的半徑為r,
          則|PM|=r+
          5
          2
          ,|PN|=r+
          1
          2
          ,
          相減得|PM|-|PN|=2
          由雙曲線定義知,點P的軌跡是以M、N為焦點,焦距為4,實軸長為2的雙曲線的右支,
          其雙曲線方程為x2-
          y2
          3
          =1(x≥1)

          (2)當直線l的斜率存在時,設(shè)為k,則
          y=k(x-2)
          3x2-y2=3
          ?(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0

          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
          △>0
          x1+x2>0?k2>3
          x1x2>0
          ,
          AM
          =(-2-x1,-y1),
          BM
          =(-2-x2,-y2)
          AM
          BM
          =(-2-x1)(-2-x2)+y1y2
          =4+2(x1+x2)+x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=
          7k2-9
          k2-3
          =7+
          12
          k2-3
          >7

          當直線的斜率不存在時,x1=x2=2?y1=3,y2=-3
          所以,
          AM
          =(-4,-3),
          BM
          =(-4,3)?
          AM
          BM
          =7

          綜合得
          AM
          BM
          ≥7
          點評:求動點的軌跡方程常用的方法有:直接法、定義法、相關(guān)點法、消參法、交軌法等;解決直線與圓相交的問題常利用幾何法特別時,將直線與圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理解.
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