Question

(本題滿分12分)

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0),兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.求證:直線過軸上的一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

解：(1)因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)是（1,0），所以半焦距c=1.

因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

所以，解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ……4分                  

(2)設(shè)直線與聯(lián)立并消去x得:

.

由D=(24m）-4×36×(3m²+4)=16(9m²-36)>0  得m>2或m<-2

設(shè),，    ………7分

   由已知得A₁(x₁,-y₁)，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為T(t,0)，

得，即.                             ………9分

所以

 

【解析】略