Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù)x，y都有f=f（x）+f（y），若數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，且滿足，則a_n為   （ ）
A．2^n-1
B．n
C．2n-1
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知中對任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且數(shù)列{a_n}滿足，可得數(shù)列{a_n}是一個以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，進而得到數(shù)列的通項公式．
解答：解：∵對任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵，
∴f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴s_n+2=3a_n…①
當(dāng)n=1時，s₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
當(dāng)n≥2時，s_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即
∴數(shù)列{a_n}是一個以1為首項，以為公比的等比數(shù)列
∴a_n=
故選D
點評：本題以抽象函數(shù)為載體考查了等比數(shù)列通項公式的求法，其中根據(jù)已知得到f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）是解答的關(guān)鍵．