Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有相同的焦點(diǎn)F，P，Q是雙曲線與拋物線的交點(diǎn)，若PQ經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，則雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

+1

．

Answer 1

分析：求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到p，c的關(guān)系；有兩條曲線的對(duì)稱性得到經(jīng)過(guò)兩曲線交點(diǎn)的直線垂直于x軸，利用雙曲線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，得到雙曲線的三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，求出離心率．

解答：解：由于拋物線的焦點(diǎn)為（

p

2

，0）雙曲線的焦點(diǎn)為（c，0）（其中c²=a²+b²），
所以p=2c．
由于雙曲線和拋物線的圖象都關(guān)于x軸對(duì)稱，故直線PQ垂直于x軸．
所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（c，

b2

a

）在拋物線上，即(

b2

a

)2=2pc=4c²，∴

b2

a

=2c，
即c²-2ac-a²=0，解得e=

c

a

=1+

2

，
故答案為：1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線與雙曲線的綜合，考查拋物線與雙曲線的幾何性質(zhì)，確定幾何量之間的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于
中檔題．