Question

（本小題滿分12分）

已知，寫出用表示的關(guān)系等式，并證明這個(gè)關(guān)系等式．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：如圖，在平面直角坐標(biāo)系

xoy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角

，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別

為A，B．

則 ，．

由向量數(shù)量積的定義，有

．

由向量數(shù)量積的的坐標(biāo)表示，有

于是． ①------7分

對(duì)于任意的，總可選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)k，使得=+或

=－+成立．

故對(duì)于任意的，總有成立，帶入①式得

對(duì)，總有

成立．------12分

另證：由于都是任意角，也是任意角．由誘導(dǎo)公式，總可以找到一個(gè)角．

當(dāng) 時(shí)，，則有

，帶入①既得

．

當(dāng)時(shí)，，就是的夾角，則有

，帶入①既得

．

綜上，對(duì)，總有

．------12分

考點(diǎn)：利用向量證明兩角差的余弦展開式

點(diǎn)評(píng)：向量在高中數(shù)學(xué)的多個(gè)板塊應(yīng)用廣泛，如向量解三角形求內(nèi)角，向量表示直線間的垂直平行關(guān)系，向量證明立體幾何中的線面的垂直平行關(guān)系及求異面直線所成角，線面角及二面角等