Question

（本小題12分）如圖是以正方形為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體，四邊形為截面，且，,，

       （Ⅰ）證明：截面四邊形是菱形；

（Ⅱ）求幾何體的體積．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?img width=47 height=16 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/388/201888.gif" >∥平面，且平面分別交平面、平面于直線、，所以∥．

同理，∥．

因此，四邊形為平行四邊形．             ……（1）

因?yàn)?img width=63 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/400/201900.gif" >，而為在底面上的射影，所以．

因?yàn)?img width=63 height=16 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/405/201905.gif" >，所以∥．

因此，．                        ……（2）

由（1）、（2）可知：四邊形是菱形；…………………6分

（Ⅱ）連結(jié)、、、,則

,，且?guī)缀误w是以正方形為底面的正四棱柱的一部分，

該幾何體的體積為,

同理,得

所以，， 

即幾何體的體積為2．   …………………12分