Question

已知等軸雙曲線C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 過(guò)F作一條漸近線的垂線FP且垂足為P，．
（1）求等軸雙曲線C的方程；
（2）假設(shè)過(guò)點(diǎn)F且方向向量為的直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，求的值；
（3）假設(shè)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得為常數(shù)．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，可求出漸近線方程，再根據(jù)P點(diǎn)為過(guò)F作一條漸近線的垂線FP的垂足，以及，可求出雙曲線中c的值，借助雙曲線中a，b，c的關(guān)系，得到雙曲線方程．
（2）根據(jù)直線l的方向向量以及f點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出x₁+x₂，x₁x₂的值，代入中，即可求出的值．
（3）先假設(shè)存在定點(diǎn)P，使得為常數(shù)，設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解x₁+x₂，x₁x₂，用含k的式子表示，再代入中，若為常數(shù)，則結(jié)果與k無(wú)關(guān)，求此時(shí)m的值即可．
解答：解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（c，0），（c＞0），
∵雙曲線為等軸雙曲線，∴漸近線必為y=±x
由對(duì)稱性可知，右焦點(diǎn)F到兩條漸近線距離相等，且∠POF=．
∴△OPF為等腰直角三角形，則由||=⇒||=c=2
又∵等軸雙曲線中，c²=2a²⇒a²=2
∴等軸雙曲線C的方程為x²-y²=2
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為雙曲線C與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)
∵F（2，0），直線l的方向向量為=（1，2），
∴直線l的方程為，即y=2（x-2）
代入雙曲線C的方程，可得，x²-4（x-2）²=2⇒3x²-16x+18=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=6，
而=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-2）（x₂-2）=5x₁x₂-8（x₁+x₂）+16=
（3）假設(shè)存在定點(diǎn)P，使得為常數(shù)，
其中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為雙曲線C與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，
①當(dāng)直線l與x軸不垂直是，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
代入雙曲線C的方程，可得（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
由題意可知，k=±1，則有x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（4k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=+4k²+m²
=+m²=+m²+2（1-2m）
要使是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)m=1，此時(shí)，=-1
②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可得點(diǎn)M（2，），N（2，-）
若m=1，=-1亦為常數(shù)
綜上可知，在x軸上是否存在定點(diǎn)P（1，0），使得=-1為常數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等軸雙曲線的方程的求法，以及直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用．