Question

（本題滿分12分）設(shè)橢圓C₁：的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C₂：與軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，），N為拋物線C₂上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）解：由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．
令y=0得即，則F₁(-1，0)，F(xiàn)₂（1，0），故c=1．
所以．于是橢圓C₁的方程為．…………4分
（Ⅱ）設(shè)N（），由于知直線PQ的方程為：
． 即．……………………………5分
代入橢圓方程整理得：,
=,
 , ,
故
．………………………………7分
設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則．…………………9分
所以，的面積S
 ………………11分
當(dāng)時(shí)取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)，滿足題意．
綜上可知，的面積的最大值為．…………………………12分
考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及直線和橢圓的位置關(guān)系求最值
點(diǎn)評(píng)：本題計(jì)算量較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力