Question

設C：y＝x²(x＞0)上的點為P₀(x₀，y₀)，過P₀作曲線C的切線與x軸交于Q₁，過Q₁作平行于y軸的直線與曲線C交于P₁(x₁，y₁)，然后再過P₁作曲線C的切線與x軸交于Q₂，過Q₂作平行于y軸的直線與曲線C交于P₂(x₂，y₂)，依次類推，作出以下各點：Q₃，P₃，…，P_n，Q_n+1，…．已知x₀＝2，設P_n(x_n，y_n)(n∈N)．

(1)設x_n＝f(n)，求f(n)的表達式；

(2)求g(n)＝；

(3)設S_n＝[g(n)－4]log₂f(n)．若n＞2，求證：－1≤＜0．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)由y＝x2得：＝2x． 　　設C：直線PnQn+1方程y－＝2xn(x－xn)，令y＝0，得xn+1＝xn－xn＝xn， 　　即xn+1＝xn，得xn＝f(n)＝2()n＝()n－1(n＝0，1，2，3，…)． 　　(2)g(n)＝2＋1＋＋…＋()n－1＝4－()n－1． 　　(3)Sn＝[g(n)－4]log2f(n)＝－()n－1log2()n－1＝(n－1)()n－1． 　　令Tn+1＝＝－2＋0＋1×＋…＋(n－1)×()n－1．(1)則 　　(2) 　　(1)－(2)，得Tn+1＝－1＋0＋1×＋1×()2＋…＋1×()n－1－(n－1)×()n． 　　中間n－1項求和，整理得 Tn+1＝＝－，又Tn+1－Tn＝－ 　　所以數(shù)列{Tn}是單調遞增數(shù)列． 　　因為n＞2，所以當n＝3時，取得最小值T3＝－1，所以－1≤＜0．