Question

一個(gè)四棱錐P一ABCD的正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形及其一條對(duì)角線(xiàn)，側(cè)視圖和俯視圖全全等的等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，直觀圖如圖．
（1）求四棱錐P一ABCD的體積：
（2）求二面角C-PB-A大��；
（3）M為棱PB上的點(diǎn)，當(dāng)PM長(zhǎng)為何值時(shí)，CM⊥PA？

Answer 1

【答案】分析：（1）由三視圖可知，PD⊥平面ABCD，這樣就看出四棱錐的底面和高都可以知道，做出體積的值．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DP、DC、DA所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．兩個(gè)平面的法向量都不用求出，只要證出就可以，這樣根據(jù)兩個(gè)向量的夾角做出二面角的值．
（3）根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)設(shè)出要求的向量，根據(jù)兩條線(xiàn)垂直，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，求出所設(shè)的值，得到結(jié)果．
解答：解：（1）由三視圖可知，PD⊥平面ABCD，
∴；
（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DP、DC、DA所在
直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)CP中
點(diǎn)為E，則是平面PBC的法向量；設(shè)AP中點(diǎn)為F，同理
可知是平面PAB的法向量．
知是平面PAB的法向量．，
設(shè)二面角，顯然，
所以二面角C-PB-A大小為；
（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），∵PMB共線(xiàn)，
∴可設(shè)，，
∵•，∴∴
∴PM的長(zhǎng)為時(shí)，CM⊥PA
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，注意選擇解題的方法，方法選擇的好，可以降低題目的難度，本題可以作為高考卷中的題目出現(xiàn)．