Question

已知函數(shù)f（x）對任意x∈R滿足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=a^x+b（a＞0且a≠1），且f(

3

2

)=

1

2

．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）+f（-x）=0可知函數(shù)為奇函數(shù)，由f（x-1）=f（x+1），可得函數(shù)為周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行求值．
（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求g（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)．
∵f（x-1）=f（x+1），∴f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=-1．
又f(

3

2

)=f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=1-

a

=

1

2

，
解得a=

1

4

．
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=

1

4x

-1∈[-

3

4

，0]，
由f（x）為奇函數(shù)知，
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f(x)∈[0，

3

4

]，
∴當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)∈[-

3

4

，

3

4

]，
∴g(x)=(f(x)+

1

2

)2-

1

4

∈[-

1

4

，

21

16

]．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，以及利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域問題，綜合性較強(qiáng)．