Question

如圖，在四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分別是PB、AD的中點(diǎn)，PD=2．
（1）求證：BC⊥PC；
（2）求證：EF∥平面PDC；
（3）求三棱錐B-AEF的體積．

Answer 1

解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴BC⊥CD．
這樣，BC垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線PD 和CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC．
（2）取PC的中點(diǎn)G，連接EG，GD，則EG，∴．∴四邊形EFGD是平行四邊形．
∴EF∥GD，又EF?平面PDC，DG?平面PDC，∴EF∥平面PDC．
（3）取BD中點(diǎn)O，連接EO，則EO∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥底面ABCD，EO=1，
．
分析：（1）先證明BC垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線PD 和CD，可得BC⊥平面PCD，從而證得BC⊥PC．
（2）取PC的中點(diǎn)G，證明四邊形EFGD是平行四邊形，可得EF∥GD，證得EF∥平面PDC．
（3）取BD中點(diǎn)O，可證EO⊥底面ABCD，利用 求出三棱錐B-AEF的體積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，求棱錐的體積，取PC的中點(diǎn)G和取BD中點(diǎn)O 是解題的關(guān)鍵．