Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0）的離心率e=

2 3

3

，直線l過A（a，0）、B（0，-b）兩點，原點O到l的距離是

3

2

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求該雙曲線的漸近線方程、頂點坐標(biāo)和焦點坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求直線l的方程，利用原點O到l的距離是

3

2

，建立方程，結(jié)合雙曲線的離心率，即可求雙曲線的方程；
（2）根據(jù)方程，可得雙曲線的漸近線方程、頂點坐標(biāo)和焦點坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線l過A（a，0）、B（0，-b）兩點，
∴直線l的方程為

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0
∵原點O到l的距離是

3

2

，∴

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

又e=

c

a

=

2 3

3

，∴b=1，a=

3

．…（5分）
故所求雙曲線的方程為

x2

3

-y2=1．…（6分）
（2）漸近線方程為y=±

3

3

x，…（8分）
頂點坐標(biāo)為(

3

，0)，(-

3

，0)…（10分）
又C=2，所以焦點坐標(biāo)為（2，0），（-2，0）…（12分）

點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵．